2011年入試（数学）

解説

１

（１）

基本的な計算なので、間違えずにしっかりできるようにすること。

（２）

式を展開し同類項を整理した後で、足してｘの係数、掛けて定数項になる２数の組合せを探す。

（３）

（直線の傾き）＝（変化の割合）＝（ｙの変化量）／（ｘの変化量）

（５）

まず両辺に６を掛けて分母を払うこと。右辺も６倍することを忘れずに。

（６）

この問題は加減法向き。

（７）

まず，与式にｘ＝－４を代入し，ａの値を求める。

（８）

底面の円の半径をｒ，高さをｈとすると、円錐の体積Ｖは次の式で表せる。
　　Ｖ＝（１／３）πｒ２ｈ

２

（１）

点ＰがＤで止まるのはＡから３だけ移動する場合。すなわち、目の最大値が３のとき。したがって、出る目の組合せは次の５通り。

（大、小）＝（１，３）、（２，３）、（３，１）、（３，２）、（３，３）

（２）

大小２つのさいころの目の出方は６×６＝３６（通り）。したがって（１）から求める確率は５／３６

（３）

点ＰがＣで止まるのはＡから２または６だけ移動する場合。すなわち、目の最大値が２または６のとき。目の最大値が２となる組合せは

（大，小）＝（１，２）、（２，１）、（２，２）

の３通り。また、目の最大値が６となる組合せは

（大，小）＝（１，６）、（２，６）、（３，６）、（４，６）、（５，６）
　　　　　　（６，１）、（６，２）、（６，３）、（６，４）、（６，５）、（６，６）

の１１通り。したがって、点ＰがＣで止まる確率は

（３＋１１）／３６＝１４／３６＝７／１８

３

（１）

△ＡＤＦと△ＧＤＢにおいて、
∠ＡＤＦ＝∠ＧＤＢ（対頂角）、∠ＤＡＦ＝∠ＤＧＢ（円周角）
２角がそれぞれ等しいので、△ＡＤＦ∽△ＧＤＢ

（２）

△ＡＤＥは１辺の長さが２の正三角形であるから、ＤＥ＝２
また、ＥＧ＝ＦＤ＝ｘと、（１）の相似な２つの三角形で対応する辺の比が等しいことに注意すると、ＡＤ：ＧＤ＝ＤＦ：ＤＢから

２：（２＋ｘ）＝ｘ：１
（２＋ｘ）ｘ＝２
ｘ２＋２ｘ－２＝０

よって　ｘ＝－１±√３
ｘ＞０なので ｘ＝－１＋√３（ｃｍ）

４

（１）

ＯＢ＝ＯＣ－ＢＣ＝２－（４－３）＝１

（２）

△ＯＢＤは∠ＯＢＤ＝９０°の直角三角形である。ＯＢ＝１、ＯＤ＝２から
ＢＤ２＝ＯＤ２－ＯＢ２＝３　　よって、ＢＤ＝√３
ＯＢ：ＯＤ：ＢＤ＝１：２：√３　から　∠ＢＯＤ＝６０°
扇形ＯＡＤの中心角は∠ＡＯＤ＝１２０°なので、求める面積は
　　π×２２×（１２０°／３６０°）＝（４／３）π（ｃｍ^２）

（３）

ＯＯ′＝Ｏ′Ｂ－ＯＢ＝（３／２）－１＝１／２
よって、求める面積は
（扇形ＯＡＤの面積）－（△ＯＯ′Ｄの面積）
＝（４／３）π－（１／２）×ＯＯ′×ＢＤ
＝（４／３）π－（１／２）×（１／２）×√３
＝（４／３）π－（√３／４）（ｃｍ^２）

５

（１）

ｙ＝－２ｘ－６にｙ＝０を代入して、ｘ＝－３。よって、Ａ（－３，０）。Ｃのｘ座標も－３であり、２点Ｃ、Ｄがｙ軸について対称な位置関係にあることから、Ｄのｘ座標は３、したがって、Ｂのｘ座標も３である。
ｙ＝－２ｘ－６にｘ＝３を代入して、ｙ＝－１２。よって、Ｂ（－３，－１２）。

（２）

ｙ＝ａｘ２ に ｘ＝－３，３を代入すると、ともにｙ＝９ａ。
したがって、Ｃ、Ｄの座標はＣ（－３，９ａ）、Ｄ（３，９ａ）となる。
ＢＤ＝４ＡＣから
　９ａ＋１２＝４×９ａ　よって、ａ＝４／９

（３）

９ａ＝９×（４／９）＝４　なので、Ｄ（３，４）

（４）

Ｐはグラフｙ＝（４／９）ｘ^２上にあるので、Ｐの座標は（ｔ，（４／９）ｔ^２）
また、Ｐは２点Ｃ、Ｄの間にあるので、－３＜ｔ＜３…①
△ＰＣＤの底辺をＣＤとすると、底辺の長さはＣＤ＝６、高さは
（４－（４／９）ｔ^２）となるので、△ＰＣＤの面積は
６×（４－（４／９）ｔ^２）×（１／２）＝１２－（４／３）ｔ^２
△ＰＣＤの面積が８となるとき、１２－（４／３）ｔ^２＝８から　ｔ^２＝３
よって、ｔ＝±√３　これらの値は①を満たす。

6

（１）

√４９＜√５０＜√６４ であるから、７＜√５０＜８
よって、√５０＝７．…　　　√５０の整数部分は７

（２）

√ａの整数部分が６であることから、６≦√ａ＜７
よって　√３６≦√ａ＜√４９
この不等式を満たすａの個数は ４９－３６＝１３（個）

（３）

√ａの整数部分がｂであることから、ｂ≦√ａ＜ｂ＋１
よって　√ｂ２≦√ａ＜√（ｂ＋１）２
この不等式を満たすａの個数は（ｂ＋１）２－ｂ２＝２ｂ＋１（個）
ａにあてはまる自然数が１７個あることから２ｂ＋１＝１７　よって、ｂ＝８