2010年入試（数学）

解説

１

（１）

ウ，オ　（ｂ／ａ）÷（ｄ／ｃ）＝（ｂ／ａ）×（ｃ／ｄ）として，かけ算に直して計算します。
カ　（Ａ＋Ｂ）（Ａ−Ｂ）＝Ａ^２−Ｂ^２ として計算できるようにしましょう。

（２）

（１）カの逆で，ｘ^２−ｙ^２＝（ｘ＋ｙ）（ｘ−ｙ）と因数分解すると，ｘ＋ｙ，ｘ−ｙの値を求めることで，暗算で計算できます。

（４）

ある正の数ａの２乗は，ａの２倍よりも３大きくなる。ａの値を求めなさい。
ａ^２＝２ａ＋３
と数式に訳すことができます。

（５）

まず，ｘ＝２を方程式に代入し，ｍの１次方程式を解きます。

（６）

中学では，ｙ＝ａｘ＋ｂとおき，（４，−１）を代入して，ｙ切片ｂを求めますが，高校では，
　　　　ｙ−（−１）＝（１／２）（ｘ−４）
として簡単に求めます。

（７）

展開図を描いて考えると求めやすくなります。母線は側面の扇形の半径であることと，底面の円周の長さと扇形の弧の長さが等しいことを用いることで，表面積は，円の求め方の応用として考えることができます。

２

（２）

それぞれの余りをＡ，Ｂに代入し，その値を７で割ることで，求める余りがわかります。

（３）

求める道のりをｘｋｍとし，方程式を作ります。１５分を（１／４）時間にすることを忘れないように。

３

（１）

樹形図を考えなければ簡単に求められます。これが（２）の確率を求めるときの分母になり，これを全事象といいます。

（２）

十の位が５，６，７のときの一の位がそれぞれ何通りかを考えることで，分子の値が分かります。

（３）

各位の数字の和が３の倍数になるとき，その数は３の倍数になります。もちろん，具体的に，１つ１つ考えても，３の倍数が何通りあるかは求められます。

４

（１）

円の中心をＯとすると，△ＡＤＯは直角三角形です。

（２）

中心角ＡＯＣは４５°。∠ＡＢＣは∠ＡＯＣの円周角です。

（３）

弧ＡＣ＝弧ＣＤから∠ＡＢＣ＝∠ＣＡＤが分かります。∠ＥＣＡ＝９０°ですから，∠ＡＥＣ＋∠ＥＡＣ＝９０°　また，∠ＤＡＥ＝９０°ですから，∠ＣＡＤ＋∠ＥＡＣ＝９０°となり，∠ＡＥＣ＝∠ＣＡＤ＝∠ＡＢＣとなり，△ＡＢＥが二等辺三角形とわかります。

（４）

（３）からＡＥ＝４ｃｍですから，△ＤＥＡに三平方の定理用いてＤＥを求めます。（１）〜（３）は，次の問題を解くためのヒントとして設定しています。数学の問題には良く見られる傾向です。何のために各設問が用意されているかを考えながら解くことが大切です。

５

（２）

ｙ＝ｍｘ＋ｎとして，Ａ，Ｂの座標を代入して求めます。

（３）

直線ＡＢとｙ軸の交点をＣとすると，△ＯＡＣと△ＯＢＣの和で求められます。このとき，２つの三角形の底辺はＯＣで，高さはそれぞれＡ，Ｂのｘ座標を利用すれば簡単です。座標で考える中学の三角形の面積は，大部分がこの方法で解決します。

（４）

ＡＢの中点を求め，それとＯを通る直線を考えます。

6

（１）

規則性を考えても良いのですが，このくらいなら，具体的に書くだけで求められます。

（２）

Ｂグループは，最初の数を２とし，５を加えてつくられてます。ｎ番目の数は，５をｎ−１個，２に加えて得られます。

（３）

（２）と同じようにして，各グループのｎ番目を求め，２００９となる自然数ｎが得られるグループを考えます。また，Ｅグループが５の倍数のグループであることを利用して求めることもできます。