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2012年入試(数学)

解説

(1)
基本的な計算なので、間違えずにしっかりできるようにすること。
(2)
(直線の傾き)=(変化の割合)
(3)
(変化の割合)=(yの変化量)/(xの変化量)
(4)
まず,1つ目の方程式にx=-3を代入し,aの値を求める。
-3以外の解を求め、2つの目の方程式に代入する。
(5)
加減法、代入法いずれでも。
(6)
語句を正しく理解する。
(7)
標本から全体を推測する。
(8)
半径をrの球の表面積Sは次の式で表せる。S=4πr 今回は半球なので、4πr×(1/2)を用いて計算する。

同じ数字の書かれたカードであっても1a、1b、1c などのように、区別して考えると良い。

(1a,1b), (1a,1c), (1a,2a), (1a,2b), (1a,3), 
(1b,1a), (1b,1c), (1b,2a), (1b,2b), (1b,3), 
(1c,1a), (1c,1b), (1c,2a), (1c,2b), (1c,3), 
(2a,1a), (2a,1b), (2a,1c), (2a,2b), (2a,3), 
(2b,1a), (2b,1b), (2b,1c), (2b,2a), (2b,3), 
(3,1a),  (3,1b),  (3,1c),  (3,2a),  (3,2b)

(1)
ア △ABD と △ACE において、
∠BAD = ∠CAE (共通)・・・①
∠ADB = ∠AEC = 90°・・・②
①、②より2組の角がそれぞれ等しい。
イ まず、AB:AC=AD:AEよりABを求める。次に、BE=AB-AE。
ウ まず、△ABD で三平方の定理よりBDを求める。
△ABC = (1/2)×AC×BD
(2)
ア ∠BEC = ∠BDC = 90°で円周角の定理の逆による。
BCは四角形BCDEの外接円の直径である。
イ 相似条件をしっかりと確認する。
円周角の定理を使って等しい角を見つける。
ウ 相似比は(△ADE):(△ABC)=2:3より
面積比は(△ADE):(△ABC)=22:32 =4:9

(1)
点A(4,4)を①、②の式にそれぞれ代入する。
(2)
t=16のとき、点Q(16,1)、R(16,16)となる。 △BQRの面積は、底辺をQR、高さは点Bから直線QRへ引いた垂線の長さと する。
(3)
(2)とは異なり、P(t,0)、Q(t,16/t)、R(t,t)。 △CARの面積は、底辺をCA、高さは点Rから直線CAまでの距離を考えればよい。
(4)
(3)と同じように、P(t,0)、Q(t,16/t)、R(t,t)として、 (△OPQの面積)=(1/2)×t×(16/t)=8

(1)
点Mから引ける線分を考える。長さの短いものから並べると、 MN(ML)、MО(MK)、MP(MJ)、MA(MI)、MB(MH)、 MC(MG)、MD(MF)、ME(直径)の8種類。MGは短い方から6番目。
(2)
線分GMをはさんで、両側それぞれから1点ずつ選んで線分を結んだとき、弦 GMと「交わる」。図1において、Aをふくむ弧GMから1点選ぶ方法は9通り、 また、Aをふくまない弧GMから1点選ぶ方法は5通りあるので、9×5=45 本の線分が引ける。
(3)
図2は2つの弦により、4つの部分に分かれている。1本の線分で7つの部分に 分けるためには、3つの部分をそれぞれ2つずつに分けていくように引かなければならない。 つまり、3つの部分を通過するような線分を数え上げていけば良い。

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