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2006年入試(数学)

解説

(1) ウ 分母の有理化はしているのですが,−√5+3√5/5 と,計算途中で答えとしている人がいました。
エ 2 乗するよりも先に掛け算をしている人や,掛け算をせずに割り算をしている人がいました。今一度,計算の仕方を確認しましょう。
(2) かなりの生徒ができていましたが,問題をしっかり読んでいなかったために,答えを a=−12 とした人や,x=6,−2 とした人がいました。また,符号を間違え,a=12 として解いている人も若干いました。
(3) ほとんどの受験生は模範解答例のように解いていましたが,中には現在の中学校の教科書では扱われていない 2 次方程式の解の公式を利用して解いている人もいました。
(4) 120x+80y=1600 から y=(-120x+1600)/80 後は約分するだけなのですが,今年もかなりの人が約分ミスをしています。
(5) 一般に 1 次関数 y=ax+b では,(y の増加量)/(x の増加量)=a となります。この一定の値 a を,1 次関数の変化の割合といいます。変化の割合に関する問題は昨年も出題しています。この問題では,y を x の式で表すと y=4x+20 となるので,(y の増加量)/4=4 から (y の増加量)=16 となります。
約 2 割の人が,間違って y=4x+20 に x=4 を代入していました。しっかり復習しておきましょう。
(6) (三角形の面積)=(1/2)×(底辺)×(高さ) なので,(1/2)xy=24 より,xy=48  ∴ y=48/x
一般に,ともなって変わる 2 つの変数 x,y の関係が y=a/x で表されるとき,y は x に反比例するといい,定数 a を比例定数といいます。 
(7) 2 直線の交点の座標は,2 つの直線の式を組みにした連立方程式を解いて求めることができます。直線 l の式は y=(−3/2)x+3 なので,m の式 y=2x−1 との連立方程式を解いて座標が求められます。
(8) 平行線の性質「 2 直線が平行ならば,同位角,錯角は等しい。」 に関わる問題です。∠x が対応する三角形の頂点を通り,l,m に平行な直線(補助線)を引いて考えると良いでしょう。

(1) 三角形ができないのは,点 P が線分 AB 上の 4 つの点 (3,1),(4,2),(5,3),(6,4) のいずれかに一致したときです。この 4 つの点のうち,P が A や B に一致する場合だけ,または,それら以外の 2 つの点の場合だけを考えたと思われる人が 約 2 割いました。
(2) さいころの目は 1 から 6 までなので,AP=AB や BA=BP となる二等辺三角形はできません。したがって,二等辺三角形になるのは PA=PB の場合で,それは点 P が 6 つの点 (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) のいずれかに一致したときです。直角二等辺三角形も,もちろん二等辺三角形です。
(3) ∠APB=90°の直角三角形になるのは P の座標が (3,4) または (6,1) のとき,∠PAB=90°の直角三角形になるのは P の座標が (1,3) または (2,2) のとき,∠PBA=90°の直角三角形になるのは P の座標が (4,6) または (5,5) のときです。直角二等辺三角形も,もちろん直角三角形です。

(1) 円周角の性質の 1 つ 「 1 つの弧に対する円周角の大きさは一定である。」 と,「三角形の外角は,それと隣り合わない 2 つの内角の和に等しい。」 に関係する問題です。
(2) 2 直線 OO´,TT´ の交点を A とすると,△OTA∽△O´T´A  AT:AT´=OT:O´T´=3:2 なので,AT=x とおくと,AT´=15−x  したがって,x:(15−x)=3:2 より x=9 ∴ AT=9,AT´=6  ここで,△OTA と △O´T´A に三平方の定理を用いると,AO,AO´ の長さが求められ,その和で OO´ の長さが求められます。
(3) (三角柱の体積)=(底面積)×(高さ),(三角錐の体積)=(1/3)×(底面積)×(高さ)
底面を △DEF(△ABC) とみると,求める立体の体積は (三角柱 ABCDEF の体積)−(三角錐 EABC の体積) で求められます。
立体の体積は,底面を四角形 ADFC とする四角錐と考えて求めることもできます。

(1) 2 つの線分 OA,DE の交点を F とすると,OA⊥DE,FO=FA=FD=FE が成り立つので,点 E の座標が (2,2) であることがわかります。y=ax2 に x=2,y=2 を代入して a が求められます。
(2) 点 B から x 軸に垂線 BG を引くと,△CAO∽△CBG  OA:GB=CA:CB=1:3 から,点 B の y 座標は 4×3=12 となります。点 B の x 座標は y=(1/2)x2 に y=12 を代入して求められます。
(3) 半径 r の円を底面とする,高さが h の円錐の体積を V とすると,V=(1/3)πr2
回転体の体積は (半径 BH の円を底面とする高さ CH の円錐の体積)−(半径 BH の円を底面とする高さ OH の円錐の体積) で求められます。

(1) マス目に書き入れる数の計算方法を図や文章で説明しているのですが, A+B×n の値ではなく,B×n の値を書き入れて計算した人や,(A+B)×n の値を書き入れて計算した人がたくさんいました。左から順に,3 段目は 1,3,1  4 段目は 1,7,6,1  5 段目は 1,15,25,10,1  6 段目は 1,ア31,イ90,ウ65,エ15,1 となります。
(2) 7 段目は左から順に,1,63,301,350,140,21,1 となるので,求める総和は 877 となります。

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